En las matemáticas hay orden y raciocinio, pero también aventura, belleza, asociaciones libres
¡Qué bonitas son las matemáticas! Tuve un reenamoramiento reciente, cuando mi hijo Elías comenzó la secundaria y me tocó, en el reparto de ayudas familiares, acompañarlo en la materia. Pasamos primer año con excelentes notas y parece que segundo estará en la misma senda.
Antes de meternos en el maravilloso mundo de los números, unos pensamientos respecto del estado de la educación pública, tan denostada habitualmente. Encuentro que la secundaria que hizo Francisco, mi hijo mayor, hace unos 15 años y la que está haciendo Elías ahora son mucho mejores que las que tuve yo hace 50 años. Esto está a contramano del sentido común que indica un declive constante, lo que permite reflexionar un poco sobre el tema, evitando lugares comunes simplificadores.
Mis dos hijos accedieron a secundarios públicos de calidad, el Buenos Aires y el Lenguas Vivas, y su formación fue/está siendo muy buena, mucho más completa que la mía, que pasé por la secundaria (Nicolás Avellaneda era el colegio, de cierto prestigio) sin aprender demasiado de nada (salvo Química Orgánica en quinto año, pero esa es otra historia) ni pasar demasiados sobresaltos, casi sin llevarme materias.
Es evidente que para un porcentaje creciente de la población educativa, las instituciones pasaron a ser lugares donde pasar las horas, tener algo de comida y calor, mucho más que de preparación para la vida. Así, la tarea inclusiva, de retención, se logró a expensas de la formadora. En el caso de los que “estamos salvados” pero a tiro de VAR para jugar el descenso, la educación, a grandes rasgos, puede mantener ciertas cotas de calidad. Es cierto que se ha perdido la santidad del aula, que por motivos totalmente triviales se pierden días enteros de clases sin que a nadie —especialmente a los padres— les parezca preocupante, y que hay profesores que aparecen eventualmente o que se van sin dejar reemplazos. Aun así, en las horas en que hay clases, los chicos aprenden cosas. Elías mejora con el inglés, tiene una excelente base matemática, ha leído y analizado un par de cuentos de Cortázar, tiene algunas ideas sobre cómo funcionan el mundo y las cosas, y se le ha despertado la curiosidad sobre temas de todo tipo. La mayoría de los profesores son excelentes. Me considero más que satisfecho con lo que está incorporando.
Sin embargo, la crisis económica ha llevado a un empobrecimiento cultural generalizado y uno de los síntomas evidentes es la incapacidad de hacer las cuentas más simples, lo que puede experimentarse cada vez que en un kiosco el encargado tiene que calcular el vuelto y recurre a una calculadora. El anumerismo se ha extendido y aquellos que todavía podemos recurrir sin dificultades a las herramientas elementales de los cálculos, somos vistos como ingenieros nucleares. Lo triste de la situación es que la situación podría ser mucho mejor. Siguen existiendo profesores dedicados y eficientes y hay cada vez más herramientas para aprender.
De hecho, una de las cosas que disfruto de repasar matemáticas de secundario es justamente la disponibilidad de recursos. A Elías, el profesor de matemáticas le explica algo y le da ejercicios para hacer. El profesor que tuvo en los dos años se llama Atilio Germán Cano, y es, en algún sentido, de la vieja escuela: los alumnos le tienen una mezcla de miedo y respeto a pesar de que jamás les levanta la voz ni los amenaza. Por otra parte, parece más interesado en los procesos que en el resultado: reprobar un examen de la materia no es un drama sino un escalón en el método de aprendizaje. Vemos con Elías el ejercicio que les dejó Cano y, si algo no nos termina de quedar claro, no hay manera de no encontrar algún video de YouTube en donde un profesor mexicano o español lo explique con lujo de detalles y recursos gráficos. En otros casos, el chat de inteligencia artificial hace todo sencillo. No hay forma de no encontrar lo que uno busca y si encima tiene un padre entusiasta y con tiempo, la aventura de la educación está completa.
Así fue como pudimos entender cómo encontrar un número irracional en la recta numérica usando el compás. Suena complicado, pero es una aplicación muy sencilla del teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Juro que jamás aprendí semejante cosa en mi secundaria. No el teorema de Pitágoras sino la aplicación a los números irracionales. Disfruté mucho de este nuevo conocimiento.
Mi hermano, a quien siempre evocamos en estos envíos, era doctor en Matemáticas y una de las bibliotecas de la facultad lleva su nombre. Los alumnos van a estudiar “a la Noriega”, esos nombres que luego pierden su intención de homenaje y se convierten en propios. Ricardo empujó mi simpatía por los números haciéndome leer un libro precioso (tapa dura y papel ilustración en mi recuerdo) que era el Courant-Robbins llamado ¿Qué son las matemáticas?, una maravilla que arranca con los números naturales y termina con el cálculo infinitesimal. Si bien seguí los pasos de mi hermano en muchos temas (hincha de River, anticomunista, Frank Sinatra, Joan Baez) no me dio para seguir su carrera. Para dedicarse las matemáticas hay que concentrarse mucho y lo mío es sobrevolar por muchas cosas sin dedicarle demasiado tiempo ni esfuerzo a cada una. Pero me quedó la simpatía por los números, el conocimiento de que eran la estructura del mundo y de que las matemáticas podían ser bellas, bellísimas, preciosas. Así fue como siguiendo la carrera de Biología me especialicé en estadísticas, lo cual me daba un approach amable y cómodo a mi relación con los números.
Tengo todos los libros de Martin Gardner, que se divierte y juega con las matemáticas, pero descreo profundamente de los que intentan que te gusten los números y que suponen que el problema está en la forma de encarar su enseñanza. No hay en Gardner una intención pedagógica: es para gente que ya disfruta de los números y los encuentra divertidos. No hay un acercamiento lúdico a las matemáticas: o te gustan o no te gustan. La relación que podés tener es cariñosa, superficial y práctica, como la que tengo yo, o experta, como la que tenían mi hermano y Quintín, ambos matemáticos de carrera, o la que pueden tener ingenieros y otros profesionales. Para amarlas no hace falta estar en el segundo grupo, basta con manejarlas para la vida cotidiana y tutearse familiarmente con los números.
Las matemáticas aparecen de la nada todo el tiempo, cuando uno menos lo espera. Especialmente en un país como Argentina en el cual ajustar por inflación es una práctica extra que tienen los ciudadanos y que es desconocida para la mayor parte del resto del mundo, a menos que estén haciendo cuentas relacionadas con períodos de tiempo largos. Que un número tenga un valor en determinado momento, pero otro muy distinto en otro es algo realmente curioso pero es lo que nos pasa a nosotros con la plata. Por supuesto que queda gente que se queda con los valores nominales y no ajustados, pero creo que en la práctica todos saben más o menos de qué se trata.
Otras veces, las matemáticas irrumpen de manera elegante y precisa, resolviendo con un par de cálculos lo que a las palabras le llevarían mucho tiempo. Es algo que pasó en estos días y resultó realmente espectacular. Algunas personas, activas en las redes y duchas con los números, se tomaron el trabajo de calcular los porcentajes presentados por el gobierno de Nicolás Maduro y que representaban su reelección. Contra lo que decía la oposición, que se atribuía un triunfo enorme y muy en sintonía con las encuestas previas, el chavismo dijo que el presidente Nicolás Maduro había sacado el 51,2 % de los votos contra el 44,2 % del candidato opositor. A esta información le sumaban los valores absolutos: 5.150.092 votos para Maduro y 4.445.978 para González Urrutia. Hasta ahí, todo bien, nada llamativo.
Sin embargo, si uno calcula los porcentajes partiendo de los números absolutos suministrados, se encuentra con algo sorprendente. Redondeando al quinto decimal, los porcentajes solo tienen ceros después del primer decimal.
En ese caso queda:
A cualquier persona familiarizada con los números estos datos lo dejan absolutamente perplejo. Cualquier división de números tomados al azar de varias cifras, como los números absolutos de una elección, va a dar un porcentaje con decimales de todo tipo, como si fueran números al azar. Tomemos como ejemplo algunos números de la primera vuelta de las elecciones argentinas del año pasado:
Calculando los porcentajes sobre el total de votos, los porcentajes al quinto decimal dan:
Se puede hacer con cualquier otra cuenta que se les ocurra. Es extraordinariamente raro que los cinco decimales posteriores al primer decimal sean cero. Mucho más raro —muchísimo— es que lo mismo suceda con las tres agrupaciones de candidatos.
De hecho, uno puede calcular la probabilidad de este suceso. En primer lugar, para esas cinco posiciones, en este caso ocupadas por ceros, podría ser cualquier otro número. En cinco cifras, la cantidad de números posibles es 1 en 100.000. Para que sucedan simultáneamente en los tres candidatos, será 1 en 100.000 por 1 en 100.000 por uno en 100.000. Es decir 1 en 1.000.000.000.000.000. Es una posibilidad lo suficientemente baja como para que cualquier otra explicación que no sea el azar sea más probable.
Y esa explicación es muy simple. Lo que pasó es que esos números enteros de votos de cada uno de los tres candidatos no provinieron de la experiencia de contar voto a voto sino que se construyeron de la manera inversa. A partir del porcentaje, se le aplicó a la cantidad total de votos, y ahí tuvimos el número total de votos de cada candidato. Alguien dijo: “Ponele 51,2 % a Maduro y calculá cuántos absolutos son”. Así con cada uno. Lo hicieron y quedaron las huellas del fraude.
Espero que mi romance con las cuentas siga en los años que le quedan a Elías en la secundaria. Tengo planeado en algún momento de mi vejez volver a estudiar cálculo numérico, derivadas e integrales. A diferencia de los dictadores, los números no mienten. A menudo, los quieren usar para engañar pero ellos, rebeldes y pertinaces, se las arreglan para que la verdad salga a la luz.